Контрольная «помочь»,
Физика в Челябинске

ПОЛУСЕМЕСТРОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МЕХАНИКЕ 21 октября 2017 г. Вариант А 1А. Точка движется по прямой без начальной скорости, так что в каждый момент времени её среднее ускорение (за всё предшествующее время движения) вдвое меньше мгновенного ускорения: ? = ?/2. Найти зависимости координаты ?(?) и скорости ?(?) точки от времени, если в момент ?0 мгновенное ускорение было равно ?0. Начальная координата ?0 = 0. 2А. Сила натяжения резинового шнура зависит от его длины ? как ?(?) = ?? (? ? ?0 ? ?20 ?2 )? , где ?0 = 10 см — длина в свободном состоянии, ? > 0 — некоторая константа. Груз массы ? = 100 г подвешен на шнуре в поле тяжести, и его длина в равновесии равна ?1 = 15 см. Какую минимальную работу надо совершить, прикладывая к грузу вертикальную силу, чтобы растянуть шнур до ?2 = 20 см? 3А. Кальмар массы ? при движении заполняет свою внутреннюю полость водой, которую по- чти сразу выбрасывает назад в виде струи, скорость которой относительно стоячей воды постоянна и равна ? . Масса воды, прокачиваемой кальмаром через себя в единицу време- ни, равна ?. Сила лобового сопротивления пропорциональна квадрату скорости кальмара, ?тр ? ?2, а его установившаяся скорость равна ??. Считая процесс непрерывным, найти время ?1 разгона кальмара из состояния покоя ?0 = 0 до скорости ?1 = ??/2. Указание: при вычислении интеграла можно использовать тождество 2 1??2 = 1 1?? + 1 1+? . 4А. В системе из двух массивных тел ?1 и ?2 существуют пять то- чек (см. рис.), называемых точками Лагранжа, в которых тре- тье тело малой массы ? ? ?1,?2 может оставаться неподвиж- ным относительно ?1 и ?2. Точка Лагранжа L1, расположен- ная на отрезке между Землёй и Солнцем, используется для раз- мещения космических обсерваторий, наблюдающих за Солн- цем. Найти расстояние ?1 от L1 до Земли. Расстояние Земля– Солнце ? = 1,5 · 108 км, отношение масс ? = ?З/?С ? 3 · 10?6. Указание: (1 + ?)? ? 1 + ??, ?? при |?| ? 1. С 60o З L4 L1 L2 L5 L3 5А. Куб массой ?, в котором имеется сферическая полость ради- усом ?, стоит на гладком горизонтальном столе. На дне по- лости находится маленький шарик массой ? = ?/2. В на- чальный момент кубу кратковременным ударом сообщили го- ризонтальную скорость ?0. Найти минимальное ?0, необходи- мое для того, чтобы шарик затем сделал полный оборот по по- лости, не оторвавшись в верхней точке. Трением пренебречь. M m V0 ФИО группа 1Б 2Б 3Б 4Б 5Б ? Оценка Максимум за задачу — 1 балл. Оценка = [2?]. ПОЛУСЕМЕСТРОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МЕХАНИКЕ 21 октября 2017 г. Вариант Б 1Б. Точка движется по прямой без начальной скорости так, что в каждый момент времени её мгновенная скорость втрое больше средней скорости за предшествующее время движе- ния: ? = 3?. Найти зависимости координаты ?(?) и мгновенного ускорения ?(?) точки от времени, если в момент ?0 её мгновенная скорость была равна ?0. Начальная координата ?0 = 0. 2Б. Зависимость силы натяжения ? резинового шнура от его удлинения
? = ? ? ?0 может быть аппроксимирована формулой ? = ??
? (? 1 + 2?? ?0 )? , где ?0 = 8 см — длина шнура в свободном состоянии, ? > 0 — некоторая константа. К исходно не растянутому висящему вертикально шнуру подвешивают груз и отпускают без начальной скорости. Найти мак- симальное удлинение шнура
?max при колебаниях груза, если после того, как колебания прекратились, его удлинение оказалось равно
?1 = 5 см. 3Б. Кальмар массы ? при движении заполняет свою внутреннюю полость водой, которую почти сразу выбрасывает назад в виде струи, относительная скорость ? которой поддер- живается постоянной. Масса воды, прокачиваемой кальмаром через себя в единицу вре- мени, равна ?. Считая процесс непрерывным, найти зависимость скорости кальмара от времени ?(?) при нулевой начальной скорости. Принять, что сила лобового сопротивления пропорциональна скорости кальмара, ?тр ? ?, а его установившаяся скорость равна ??. 4Б. В системе из двух массивных тел ?1 и ?2 существуют пять точек, называемых точками Лагранжа, в которых третье те- ло малой массы ? ? ?1,?2 может оставаться неподвижным относительно ?1 и ?2. Точка Лагранжа L2, расположенная на линии Солнце–Земля за Землёй (см. рис.), используется для размещения космических телескопов, наблюдающих за Вселен- ной. Найти расстояние ?2 от L2 до Земли. Расстояние Земля– Солнце ? = 1,5 · 108 км, отношение масс ? = ?С/?З ? 3 · 105. Указание: (1 + ?)? ? 1 + ??, ?? при |?| ? 1. С 60o З L4 L1 L2 L5 L3 5Б. Куб массой ? стоит на горизонтальном столе, по которому он может скользить без трения. В кубе имеется цилиндриче- ская полость радиусом ?, на дне которой помещен малень- кий шарик массой ? = ?/4. Какую минимальную началь- ную скорость ?0 нужно сообщить шарику, чтобы он сделал полный оборот по полости, не оторвавшись в верхней точке? M m v0