Решение задач «Задача Д1 К задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером»,
теоретическая механика в Челябинске

Задача Д1 К задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. 1.4 - это рис. 4 к задаче 1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы. Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы. Условие Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис.1, табл. 1). На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках). В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице. Считая груз материальной точкой и зная время t1 движения груза от точки А до точки В, найти скорость груза на участке ВС через t2= 2 сек после выхода из точки В. Трением груза о трубу пренебречь. Таблица 1 Номер m, кг v0, м/с Q, H t1, c Fx, H условия 0 2.4 12 5 1.5 2t 1 2 20 6 2.5 2t2 2 8 10 16 3 3t2-1 3 1.8 24 5 2 2t2+1 4 6 15 12 1 t3 5 4.5 22 9 3 t3+2t 6 4 12 10 2.5 2t2-1 7 1.6 18 4 2 3t 8 4.8 10 10 1 3t2 9 3 22 9 3 2t2-1 Рис.1 Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис.5) на груз D массой m действуют сила тяжести и постоянная сила Q; время движения на участке АВ t1 , скорость в точке А V0 На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах. Дано : m = 2 кг, Q=4 Н v0 = 5 м/с, t1= 2,5 с, Fx = t2+1. Определить: v2 -скорость движения груза на участке ВС через t2= 2 с после выхода из точки В.. Решение. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы P = mg и R. Проводим ось АZ и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось : (1) Далее находим : PZ = P = mg, Учтя , что vz = v, получим . (2) Разделяя в уравнении (2) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим . По начальным условиям при t= 0 v = v0, что дает С1 = 5м/с. В результате находим (3) Полагая в равенстве (3) t = 2.5 с , определим скорость vB груза в точке В : = 25 м/с. Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость vB будет для движения на этом участке начальной скоростью (v0 = vB). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы P = mg , N и F. Проведем из точки В ось ВХ и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось : . (4) Так как Рх = Psin30° = 0.5 mg , Nx = 0 , Fx = t2+1 , то уравнение (4) примет вид . Разделив обе части равенства на m = 2 кг и полагая опять g @ 10 м/с2 , получим . Умножая обе части уравнения на dt и интегрируя, найдем vx = 5,5t +0,5t3/3+ C2 . (5) Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 vx = v0 = vB ., Подставляя эти величины в (5), получим С2 = vB =25 м/с. Тогда vx = 5,5t +0,5t3/3+ 25. Подставляя время движения на участке ВС t2=2c находим vx = 5,5 .2 +0,5 . 23/3+ 25=37,3 м/с.