Решение задач «решить 7 задач»,
Геометрия в Челябинске

1. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены равносторонние треугольники с центрами D, Е и F. Докажите, что SDEF > SABC. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы А и С прямые. Докажите, что АС = BD · sin ABC. 3. Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны. 4. Стороны вписанного четырёхугольника АВCD удовлетворяют соотношению АВ· ВС = AD·DC. Докажите, что площади треугольников АВС и ADC равны. 5. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС, в котором AC = ВС = 6, SA - высота пирамиды, ЅА = 4. Точки К и N лежат на рёбрах АС и АВ соответственно, причём АК = BN = 2. Точка М середина ВЅ. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KMN. 6. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной а, а боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На ребрах SD и AD взяты соответственно точки М и L середины этих ребер. Найдите расстояние между прямой ML и прямой АС. 7. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат. Боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. На ребре SB взята точка М - середина этого ребра. Найдите угол между прямой СМ и плоскостью основания пирамиды.